অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি

নবম-দশম শ্রেণি (মাধ্যমিক) - উচ্চতর গণিত - অসীম ধারা | NCTB BOOK

1.3k

Summary

উপস্থাপিত বিষয়বস্তু হচ্ছে অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি। এতে বিভিন্ন সীমাবদ্ধতার উদাহরণ ও সমাধান উপস্থাপন করা হয়েছে।

১ম আংশিক সমষ্টি: S1=u1

২য় আংশিক সমষ্টি: S2=u1+u2

৩য় আংশিক সমষ্টি: S3=u1+u2+u3

n তম আংশিক সমষ্টি: Sr=u1+u2+u3+....+un

অর্থাৎ, n তম আংশিক সমষ্টি হচ্ছে প্রথম n সংখ্যা যোগফল।

উদাহরণ:

ক) 1+2+3+.....
খ) 1-1+1-1+.....

সমাধান:

ক) এটি একটি সমান্তর ধারার উদাহরণ। প্রথম পদ a = 1 ও সাধারণ অন্তর d = 1।

সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি: Sn = n/2 * (2a + (n-1)d) = n/2 * (2 * 1 + (n-1) * 1) = n(n + 1)/2

উদাহরণ দ্বারা পাওয়া ফলাফল:

S10 = 55
S1000 = 500500
S100000 = 5000050000

এভাবে n বাড়ানোর সঙ্গে সঙ্গে Sn এর মানও বৃদ্ধি পায়, ফলে অসীম ধারাটির কোনো সমষ্টি নেই।

খ) 1-1+1-1+.....

Aতিহাসিক বিশ্লেষণ:

S1 = 1
S2 = 0
S3 = 1
S4 = 0

n বিজোড় হলে, Sn = 1; এবং n জোড় হলে, Sn = 0।

অতএব, এই ধারার জন্য কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা বোঝা যায় না।

$u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . . . . + u_{n} + . . . .$ অনন্ত ধারার

১ম আংশিক সমষ্টি $S_{1} = u_{1}$

২য় আংশিক সমষ্টি $S_{2} = u_{1} + u_{2}$

৩য় আংশিক সমষ্টি $S_{3} = u_{1} + u_{2} + u_{3}$

n তম আংশিক সমষ্টি $S_{r} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . . + u_{n}$

অর্থাৎ, কোনো অসীম ধারার n তম আংশিক সমষ্টি হচ্ছে ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি।

উদাহরণ ১. প্রদত্ত অসীম ধারা দুইটির আংশিক সমষ্টি নির্ণয় কর।

ক) $1 + 2 + 3 + . . . .$ খ) $1 - 1 + 1 - 1 + . . . . .$

সমাধান:
ক) ধারাটি একটি সমান্তর ধারা কারণ ধারাটির প্রথম পদ a = 1 এবং সাধারণ অন্তর d = 1।

সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_{n} = \frac{n}{2} \{2 a + (n - 1) d\} = \frac{n}{2} \{2.1 + (n - 1) . 1\}$
কাজেই $S_{n} = \frac{n}{2} \{2 + n - 1\} = \frac{n (n + 1)}{2}$

উপরের সূত্রে n এর বিভিন্ন মান বসিয়ে পাই,

$S_{10} = \frac{10 \times 11}{2} = 55$
$S_{1000} = \frac{1000 \times 1001}{2}$ $= 500500$

$S_{100000} = \frac{100000 \times 100001}{2} = 5000050000$

এভাবে, n এর মান যত বড় করা হয়, Sn এর মান তত বড় হয়।

সুতরাং প্রদত্ত অসীম ধারাটির কোনো সমষ্টি নাই ।

খ) $1 - 1 + 1 - 1 + . . . .$ অসীম ধারাটির

১ম আংশিক সমষ্টি $S_{1} = 1$

২য় আংশিক সমষ্টি $S_{2} = 1 - 1 = 0$

৩য় আংশিক সমষ্টি $S_{3} = 1 - 1 + 1 = 1$

৪র্থ আংশিক সমষ্টি $S_{4} = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$

উপরের উদাহরণ থেকে দেখা যায় যে, n বিজোড় সংখ্যা হলে n তম আংশিক সমষ্টি $S_{n} = 1$ এবং n জোড় সংখ্যা হলে n তম আংশিক সমষ্টি $S_{n} = 0$

তাহলে দেখা যাচ্ছে যে, প্রদত্ত ধারাটির ক্ষেত্রে, এমন কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা পাওয়া যায় না যাকে ধারাটির সমষ্টি বলা যায়।

Content added By

Genius

অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি

অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি

Summary

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!

অসীম ধারার আংশিক সমষ্টি

Summary

All Notifications

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!